Трибология

Внешний стационарный изотермический контакт упругих гладких цилиндров, разделенных слоем смазки. Общие свойства решения задачи

Одной из наиболее простых УГД задач является изотермическая стационарная задача о внешнем контакте цилиндров, разделенных слоем смазочного материала(Рис. 4.1).

Рис. 4.1

Задача при этом состоит в совместном решении одного дифференциального уравнения Рейнольдса для смазочного слоя, имеющего в данном случае вид

, (4.1)

одного интегрального уравнения контактных деформаций

(4.2)

и двух алгебраических уравнений: (1.17) и (1.18), или (1.19), определяющих изменение плотности и вязкости смазочного материала с изменением давления. Здесь , - скорости движения поверхностей цилиндров, и - координаты входной и выходной граничных точек области, занимаемой смазочным слоем, , , - радиусы цилиндров, - эквивалентный модуль упругости, , (i=1,2) –коэффициенты Пуассона и Модули упругости цилиндров, - толщина смазочного слоя в выходной граничной точке смазочного слоя (в точке ).

Граничные условия для уравнения Рейнольдса имеют вид

, . (4.3)

Для определения неизвестной координаты имеется условие

, (4.4)

а для определения неизвестного значения - условие

, (4.5)

где - нагрузка, отнесенная к единице длины цилиндров.

Интегрируя уравнение (4.1) в интервале , где , и учитывая граничные условия на границе , а получаем

(4.6)

Здесь - плотность смазочного материала при атмосферном давлении.

Уравнения (4.2), (4.6), (1.1), (1.2) и условия (4.3), (4.5) однозначно определяют значение выходной координаты области, занимаемой смазочным слоем, а также функции и при заданных значениях исходных параметров.

Приведем систему уравнений к безразмерному виду. Для этого отнесем давление к максимальному давлению при сухом контакте тел, рассчитываемому по теории Герца, линейные размеры – к полуширине контакта при сухом контакте тел, плотность смазочного материала – к . Толщину смазочного слоя отнесем к . Зависимость вязкости от давления будем учитывать по формуле (1.18).

Для безразмерных переменных сохраним те же обозначения, что и для размерных переменных. В дальнейшем будем указывать, в каких переменных – безразмерных, или размерных, записано уравнение. В безразмерных переменных основные уравнения и условия запишутся в виде:

(4.7)

(4.8)

, (4.9)

, , (4.10)

(4.11)

где , , , , .

Уравнения (4.7)-(4.9) совместно с условиями (4.10), (4.11) однозначно определяют значения параметров и функции , если заданы значения параметров .

Таким образом, данные уравнения и условия определяют зависимость , или, в замерных переменных, зависимость толщины смазочного слоя на выходе из зазора от радиусов цилиндров, их скоростей, нагрузки, геометрических размеров, условий подачи смазочного материала в зазор и вязкости смазочного материала с учетом ее изменения с изменением давления.

Значение параметра определяется условиями подачи смазочного материала в зазор. Обильная смазка моделируется большим по модулю значением , таким, что его дальнейшее увеличение приводит к изменению решения в пределах заданной погрешности.

Влияние упругой податливости поверхностей контактирующих тел на распределение давления в смазочном слое и его толщину демонстрируют результаты расчетов, приведенные на рис. 5-12. Расчеты проведены при следующих значениях входных параметров: скорость пьезокоэффициент вязкости и при различных значениях приведенного модуля упругости . Значения коэффициентов , учитывающих влияние давления на плотность смазочного материала, принимались такими , . Эти значения коэффициентов являются типичными для смазочных материалов. При таких значениях нагрузки и пьезокоэффициента вязкости влияние давления на вязкость смазки незначительно. То есть результаты, приведенные на рис. 4.1-4.9, являются решением задачи без учета влияния давления на вязкость смазочного материала.

Рис. 4.2

На рис. 4.2 приведены функции и при различных значениях приведенного модуля упругости . Кривой 1 соответствует значение . При таком значении влияние деформаций поверхностей на распределение давления в смазочном слое и толщину смазочного слоя незначительно. То есть кривым 1 соответствует решение задачи для жестких тел без учета влияния давления в смазочном слое на его вязкость.

Если контактирующие тела являются жесткими, то функция имеет вид параболы. При этом область, в которой давление имеет высокое значение, мала и максимум давления равен . Минимальная толщина смазочного слоя при этом равна .

При уменьшении значения приведенного модуля упругости в зазоре появляется область, в которой толщина смазочного слоя меняется слабо. При этом область, в которой давление принимает высокое значение, возрастает, максимальное давление падает, а минимальная толщина смазочного слоя возрастает. При значении максимальное давление в смазочном слое равно , а минимальное значение толщины смазочного слоя равно . Область, в которой изменение толщины смазочного слоя невелико, составляет около .

Таким образом, деформации поверхностей тел при значении привели к увеличению минимальной толщины смазочного слоя в 4.12 раза, и к уменьшению максимального давления в 6.9 раза.

Рис. 4.3

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Рис. 4.9

На рис. 4.3-4.9 приведены функции распределения давления в смазочном слое при различных значениях (сплошные кривые), а также распределения давлению в сухом контакте (при отсутствии смазки) при тех же значениях (пунктирные кривые).

Из приведенных результатов следует, что при высоких значениях , когда деформации контактирующих поверхностей малы, функции распределения давления при наличии смазочного слоя и при его отсутствии отличаются существенно друг от друга. А именно, область, в которой развивается высокое гидродинамическое давление, в рассматриваемом случае более чем в два раза больше области сухого контакта тел. Точка максимума давления при наличии смазочного слоя находится вблизи левой границы области сухого контакта, в то время как при сухом контакте тел максимум давления расположен посередине области контакта.

По мере падения приведенного модуля упругости точка максимума давления при наличии смазки смещается вправо и приближается к точке максимум давления при сухом контакте тел. Максимум давления при наличии смазки также приближается к максимуму давления при сухом контакте тел.

В результате при низких значениях функция распределения давления при наличии смазки лишь незначительно отличается от функции распределения давления при сухом контакте в небольшой окрестности левой гранично точки области сухого контакта тел.

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Рассмотрим теперь вопрос о том, как влияет возрастание вязкости смазочного материала с возрастанием давления на распределение давления в смазочном слое и толщину смазочного слоя. На рис. 4.10 приведены функции распределения давления и толщины смазочного слоя при и различных значениях пьезокоеффициента вязкости . Кривые 1 на рис. 4.10 являются кривыми 5 на рис. 4.2. Из результатов, приведенных на рис. 4.10, следует, что с ростом значения толщина смазочного слоя в области высокого давления растет. У функции распределения давления при некотором значении появляется второй максимум, который далее быстро растет с ростом . При этом у графика функции в выходной области смазочного слоя появляется впадина, глубина которой увеличивается с ростом .

В результате при изменении от значения до значения минимальная толщина смазочного слоя возросла от значения до значения , то есть возросла почти в три раза. С учетом обоих эффектов влияния деформаций поверхностей и роста вязкости смазочного материала с ростом давления минимальная толщина смазочного слоя возросла в 12.2 раза от значения при значениях до значения при значениях.

Таким образом, деформации поверхностей и рост вязкости смазочного материала с ростом давления в рассматриваемом случае имеют одинаковый порядок влияния на толщину смазочного слоя. При расчете локального контакта оба эти эффекта необходимо учитывать одновременно.

На рис. 4.11 приведены функции распределения давления в области второго максимума давления. Видно, что второй максимум давления является узким. В рассматриваемом случае его ширина имеет порядок нескольких микрон.

В приведенных выше расчетах учитывалось изменение плотности смазочного материала с изменением давления. Расчеты показывают, что данный эффект слабо влияет на минимальную толщину смазочного слоя, но сильно влияет на величину второго максимума давления. Без учета зависимости плотности смазочного материала от давления высота второго максимума давления может в несколько раз превышать величину этого максимума при учете изменения плотности с изменением давления. Подробнее об этом сказано в работе [1].

Если не учитывать изменение плотности смазочного материала от давления, то постоянные принимают нулевые значения и безразмерная толщина смазочного слоя на выходе из зазора становится функцией двух переменных: и . В работе [2] показано, что в пределе при значении данная зависимость должна мало отличаться от зависимости

(4.12)

На рис. 4.12 приведены зависимости , полученные путем решения системы уравнений (4.8)-(4.12) при значениях (кривая 1), и по формуле (4.12) при значении . Из приведенных на рисунке результатов следует, что при малых значениях формула (4.12) дает заниженные в несколько раз значения безразмерной толщины .

При высоких значениях параметра формула (4.12) дает значения , близкие к значениям, полученным путем решения системы уравнений (4.7)-(4.11).

Рис. 4.12

Литература

1. Усов П.П. О точности численного решения УГД-задач.-Трение и износ, 2006(27), №4, стр. 394-402

2. Грубин А.Н. Основы гидродинамической теории смазки тяжелонагруженных цилиндрических поверхностей.- Тр. ЦНИИТМАШ, 1949, вып. 30.