Трибология

Уравнения смазочной жидкости

Рассмотрим движение тонкого слоя смазочной жидкости, разделяющего поверхности и деформируемых тел (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Введем неподвижную ортогональную систему координат , декартову или криволинейную, расположив плоскость между поверхностями и . Пусть уравнения деформированных поверхностей в системе координат имеют вид

, . (1.1)

Пусть тела прижаты одно к другому нагрузкой и совершают движение, вследствие которого в некоторой области , заполненной смазочной жидкостью, возникает повышенное давление.

Движение поверхности , , будем описывать двумерным вектором и переменной ,

где - составляющие скорости движения точки поверхности с координатами вдоль осей и соответственно. Очевидно, что

. (1.2)

Влиянием движения поверхностей, обусловленного их деформациями, на скорости поверхностей пренебрегаем. Это означает, что скорости поверхностей задаются движением тел как твердых недеформируемых тел и они известны. В результате получаем задачу о движении слоя смазочной жидкости между заданными поверхностями при заданном движении поверхностей.

Характерной особенностью данной задачи является малая величина отношения , где - характерный размер слоя жидкости по направлению координаты , - характерные размеры области по направлениям и соответственно.

С учетом этого уравнения движения жидкости принимают вид [1]

, , (1.3)

, , , . (1.4)

Здесь - компоненты тензора напряжений в жидкости, - давление в жидкости. Приблизительные равенства в (1.2), (1.3) отличается от точных равенств тем, что в них пренебрегли членами, имеющими порядок малости и выше по сравнению с оставшимися членами. Из (1.2) следует, что давление в жидкости можно считать не зависящим от координаты , то есть .

Последние два уравнения в (2) можно записать более компактно следующим образом

(1.5)

где вектор , , - орты осей и соответственно.

Плотность жидкости и составляющие скорости частицы жидкости должны удовлетворять уравнению неразрывности

. (1.6)

На поверхностях вследствие прилипания смазочного материала к поверхностям скорость движения жидкости должна совпадать со скоростью движения поверхностей, то есть должны выполняться условия

, , (1.7)

. (1.8)

Проинтегрируем уравнение неразрывности (1.6) по переменной от до при фиксированных значениях . Учитывая (1.8) и (1.2), получаем:

, (1.9)

где - плотности смазочного материала в точке соприкосновения с поверхностью .

Плотность смазочного материала изменяется как с изменением давления, так и с изменением температуры. Наиболее часто в теории смазки эту зависимость принимают в виде [1]

, (1.10)

где - температура,

- плотность смазочного материала при атмосферном давлении и температуре ,

- коэффициент объемного расширения,

- константы.

Типичные значения констант

, , .

Изменение температуры по толщине смазочного слоя (по координате ) имеет порядок . Поэтому относительное изменение плотности по толщине смазочного слоя . В связи с этим изменением плотности жидкости по толщине смазочного слоя можно пренебречь и уравнение неразрывности (9) можно записать в виде

, (1.11)

где - двумерный вектор, компоненты которого равны скоростям движения жидкости по осям и соответственно.

В подшипниках скольжения изменение температуры по направлению скольжения может достигать нескольких десятков градусов. Это также приводит к незначительному изменению плотности смазочного материала, поэтому в большинстве случаев можно пользоваться формулой

, (1.12)

учитывающей только изменение плотности смазочного материала с изменением давления.

В большинстве случаев основным видом тепловыделения в смазочном слое является тепловыделение от сдвига. Пренебрегая тепловыделением от сжатия жидкости и пренебрегая в уравнении энергии членами имеющими порядок малости и выше, получаем [1] :

, (1.13)

где - температура жидкости, теплоемкость и коэффициент теплопроводности смазочного материала, соответственно.

Уравнения (1.5), (1.11), (1.12), (1.13) справедливы для всех типов жидких смазочных жидкостей. При заданных функциях , определяющих толщину смазочного слоя, в эти пять скалярных уравнения входят семь неизвестных скалярных функций:

, , , .

Недостающими уравнениями являются уравнения, определяющие взаимосвязь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. В рассматриваемом случае эти зависимости сводятся к зависимостям между векторами и . В наиболее простом случае Ньютоновских жидкостей эта зависимость имеет вид

, (1.14)

где - вязкость смазочного материала, зависящая от давления и температуры.

Дифференцируя обе части уравнения (1.14) по переменной , и учитывая соотношение (1.5), получаем

. (1.15)

Правая часть уравнения (1.15) не зависит от переменной . Это позволяет проинтегрировать его. При этом надо учитывать, что вязкость может изменяться по толщине смазочного слоя вследствие изменения температуры. Интегрируя уравнение (1.15) и подставляя полученный результат в уравнение (1.11), получаем после несложных преобразований

, (1.16)

где . Уравнение (16) называется уравнением Рейнольдса.

В изотермическом случае данное уравнение принимает вид

. (1.17)

Вязкость смазочного материала, входящая в уравнение Рейнольдса, зависит как от давления, так и от температуры. Для учета зависимости вязкости от давления наиболее часто используются две модели. Наиболее простой является модель Баруса [2], в соответствии с которой вязкость экспоненциально растет с ростом давления, то есть

, (1.18)

где - вязкость смазочного материала при атмосферном давлении, - пъезокоэффициент вязкости. Более точной является модель модель Роланда [3]

, , (1.19)

где - константа (обычно ).

Чтобы уравнение (1.16), или (1.17) имело единственное решение необходимо задать начальное и граничные условия. Начальное условие однозначно определяется при постановке конкретной задачи, поэтому на данном условии здесь останавливаться не будем. Относительно граничных условий для уравнения Рейнольдса проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований [4-6]. Результаты этих исследований говорят о том, что при высоких давлениях, развиваемых в смазочном слое, может быть использовано условие

, (1.20)

где - граница области , занимаемой смазочным слоем.

Уравнение (1.16) (или (1.17)) совместно с условием (1.18) однозначно определяют функцию , если заданы начальные условия, то есть задано , задана функция , а также задана граница области , изменяющаяся со временем. Границу можно разделить на 2 части. Через одну часть границы смазка поступает в зазор, и эта часть границы, как правило, известна. Она определяется конструкцией узла трения и условиями подачи смазки. Через вторую часть границы смазка вытекает из зазора. Эта часть границы, которую обозначим , неизвестна и для ее определения необходимо дополнительное условие. При высоких давлениях, развиваемых в смазочном слое, в качестве такого условия может быть использовано, так называемое кавитационное, или рейнольдсово, граничное условие

, (1.21)

где - единичный вектор нормали к границе .

Литература

1. Галахов М.А., Гусятников П.Б., Новиков А.П.Математические модели контактной гидродинамики. М.: Изд-во «Наука», 1985, 284 с.

2. Dowson D., Higginson G. R. Elastohydrodynamic Lubrication. The Fundamentals of Roller and Gear Lubrication. — Oxford: Permagon Press. — 1966

3. Roelands C. J. A. Correlation aspects of viscosity-temperature-pressure relationship of lubricating oils: PhD Thesis. — Delft: Delft University of Technology. — 1966

4. Флоберг Л. Смазка двух вращающихся цилиндров при переменной подаче масла с учетом разрывной прочности смазывающей жидкости.- Проблемы трения и смазки, 1973, № 2.

5. Койн Дж, Элро Х. Условия разрыва смазочной пленки. Ч. I. Теоретическая модель.- Проблемы трения и смазки, 1970, Т. 92, №3, с. 79-86

6. Койн Дж, Элро Х. Условия разрыва смазочной пленки. Ч. II. Новые граничные условия для уравнения Рейнольдса.- Проблемы трения и смазки, 1971, Т. 93, №1, с. 149-160.